Что такое критерий Келли
Критерий Келли (Kelly Criterion) — это математическая формула для определения оптимального размера ставки, которая максимизирует логарифмический рост банкролла в долгосрочной перспективе. Формула была разработана Джоном Келли в 1956 году для телекоммуникаций, но стала популярной в ставках на спорт, инвестициях и других областях, где нужно определить оптимальный размер ставки.
Суть критерия Келли в том, что он учитывает не только вероятность выигрыша и коэффициент, но и балансирует между максимизацией роста и минимизацией риска потери банкролла. Формула рассчитывает, какую долю банкролла следует поставить, чтобы максимизировать долгосрочный рост при сохранении безопасности.
Критерий Келли тесно связан с value betting — он автоматически учитывает валуйность ставки и рекомендует больший размер для более валуйных ставок. Если ставка не валуйная (value отрицательный), Келли не рекомендует ставить вообще.
Как работает формула Келли
Формула Келли рассчитывает оптимальную долю банкролла для ставки на основе вероятности выигрыша и коэффициента.
Основная формула
Формула Келли:
f = (p × коэффициент - 1) / (коэффициент - 1)
где:
- f — доля банкролла для ставки (от 0 до 1, или в процентах от 0% до 100%)
- p — вероятность выигрыша (от 0 до 1, или в процентах от 0% до 100%)
- коэффициент — коэффициент события
Альтернативная запись через value:
f = value / (коэффициент - 1)
где value = (коэффициент × вероятность) - 1
Если value положительный (валуйная ставка), f будет положительным. Если value отрицательный (не валуйная ставка), f будет отрицательным, что означает, что ставка не рекомендуется.
Математическое обоснование
Критерий Келли максимизирует логарифмический рост банкролла. Это означает, что он максимизирует средний логарифм банкролла после многих ставок, что эквивалентно максимизации долгосрочного роста.
Формула выводится из условия максимизации ожидаемого логарифма банкролла:
E[log(B)] = p × log(B × (1 + f × (коэффициент - 1))) + (1 - p) × log(B × (1 - f))
где B — банкролл, f — доля банкролла, p — вероятность выигрыша.
Дифференцируя по f и приравнивая к нулю, получаем формулу Келли. Это даёт оптимальное значение f, которое максимизирует долгосрочный рост банкролла.
Расчёт размера ставки
После расчёта доли банкролла (f) размер ставки рассчитывается просто.
Формула размера ставки
Размер ставки рассчитывается по формуле:
Размер ставки = Банкролл × f
где f — доля банкролла, рассчитанная по формуле Келли.
Пример расчёта
Разберём конкретный пример:
- Банкролл: 100000 рублей
- Вероятность выигрыша: 60% (0.60)
- Коэффициент: 2.00
Шаг 1: Рассчитываем долю банкролла по Келли
f = (0.60 × 2.00 - 1) / (2.00 - 1) = (1.20 - 1) / 1 = 0.20 (20%)
Шаг 2: Рассчитываем размер ставки
Размер ставки = 100000 × 0.20 = 20000 рублей
Это означает, что для максимизации долгосрочного роста следует поставить 20% банкролла, то есть 20000 рублей.
Если использовать половину Келли (f × 0.5):
f = 0.20 × 0.5 = 0.10 (10%)
Размер ставки = 100000 × 0.10 = 10000 рублей
Фракционный Келли
Фракционный Келли — это использование только части от полного критерия Келли для снижения риска и волатильности. Это популярный подход, так как полный Келли может быть слишком агрессивным.
Что такое фракционный Келли
Фракционный Келли рассчитывается как:
Фракционный Келли = Полный Келли × Множитель
где множитель обычно составляет 0.25 (четверть Келли), 0.5 (половина Келли) или другое значение от 0 до 1.
Фракционный Келли снижает размер ставок, что уменьшает волатильность и риск потери банкролла при сериях проигрышей. Однако это также снижает потенциальный рост банкролла.
Популярные варианты
Наиболее популярные варианты фракционного Келли:
- Половина Келли (0.5) — самый популярный выбор. Даёт около 75% роста полного Келли при значительно меньшей волатильности. Балансирует между ростом и безопасностью.
- Четверть Келли (0.25) — более консервативный подход. Даёт около 50% роста полного Келли при очень низкой волатильности. Подходит для игроков с низкой толерантностью к риску.
- Кастомный множитель — можно использовать любое значение от 0.01 до 1.00 в зависимости от вашей толерантности к риску и точности оценок вероятностей.
Выбор множителя зависит от вашей толерантности к риску, точности оценок вероятностей и размера банкролла. Чем менее точны ваши оценки, тем меньший множитель следует использовать.
Сравнение полного и фракционного Келли
Полный Келли максимизирует рост банкролла, но создаёт высокую волатильность. При сериях проигрышей банкролл может значительно уменьшиться. Фракционный Келли снижает волатильность и риск, но также снижает потенциальный рост.
Исследования показывают, что половина Келли даёт около 75% роста полного Келли при значительно меньшей волатильности. Это делает её популярным выбором для большинства игроков.
Преимущества и недостатки
Критерий Келли имеет как преимущества, так и недостатки, которые важно понимать.
Преимущества
- Математически обоснован — формула максимизирует долгосрочный рост банкролла
- Автоматически учитывает value — чем выше value ставки, тем больше размер ставки
- Адаптивный размер ставок — размер ставки автоматически изменяется в зависимости от вероятности и коэффициента Оптимален в долгосрочной перспективе — при правильных оценках вероятностей даёт максимальный рост
- Снижает риск разорения — при правильном использовании снижает вероятность потери всего банкролла
Недостатки
- Требует точных оценок вероятностей — неточные оценки могут привести к большим потерям
- Высокая волатильность — полный Келли может создавать большие просадки банкролла
- Большие размеры ставок — при высоком value может рекомендовать ставить 20-30% банкролла
- Работает только в долгосрочной перспективе — требует большого количества ставок для эффективности
- Не учитывает психологические факторы — большие ставки могут быть психологически сложными
Когда использовать Келли
Критерий Келли подходит не для всех ситуаций. Вот когда его стоит использовать.
Подходящие ситуации
- Точные оценки вероятностей — когда вы уверены в своих оценках вероятностей выигрыша
- Долгосрочная перспектива — когда вы планируете делать много ставок в течение длительного времени
- Достаточный банкролл — когда у вас есть достаточный банкролл для выдержки серий проигрышей
- Value betting — когда вы делаете валуйные ставки с положительным математическим ожиданием
- Дисциплина — когда вы готовы следовать формуле, даже если она рекомендует большие ставки
Неподходящие ситуации
- Неточные оценки вероятностей — если вы не уверены в своих оценках, лучше использовать фиксированный процент
- Короткие серии ставок — Келли работает только при большом количестве ставок
- Маленький банкролл — при маленьком банкролле Келли может рекомендовать слишком большие ставки
- Эмоциональная нестабильность — если большие ставки вызывают стресс, лучше использовать более консервативный подход
- Не валуйные ставки — если value отрицательный, Келли не рекомендует ставить
Стратегии управления банкроллом
Критерий Келли — это одна из стратегий управления банкроллом. Важно понимать, как он сравнивается с другими подходами.
Келли vs Фиксированный процент
Фиксированный процент: вы всегда ставите фиксированный процент от банкролла (например, 2-5%), независимо от вероятности и коэффициента.
Келли: размер ставки изменяется в зависимости от вероятности и коэффициента. При высоком value ставка больше, при низком value — меньше.
Сравнение: Келли даёт больший рост в долгосрочной перспективе, но создаёт большую волатильность. Фиксированный процент более стабилен, но даёт меньший рост. Келли оптимален при точных оценках вероятностей, фиксированный процент — при неточных оценках.
Келли vs Флэт
Флэт: вы ставите фиксированный процент от текущего банкролла, который автоматически изменяется вместе с банкроллом.
Келли: размер ставки зависит не только от банкролла, но и от вероятности и коэффициента.
Сравнение: Келли более агрессивен и даёт больший рост, но требует точных оценок. Флэт более консервативен и стабилен, но даёт меньший рост.
Комбинированный подход
Многие опытные игроки комбинируют Келли с ограничениями. Например, используют половину Келли, но ограничивают максимальный размер ставки 5-10% банкролла. Это даёт преимущества Келли при снижении риска больших ставок.
Ограничения и риски
У критерия Келли есть важные ограничения и риски, которые нужно учитывать.
Требует точных оценок
Келли работает только при точных оценках вероятностей. Если ваши оценки неточны, полный Келли может привести к большим потерям. В этом случае лучше использовать фракционный Келли или фиксированный процент.
Высокая волатильность
Полный Келли создаёт высокую волатильность банкролла. При сериях проигрышей банкролл может значительно уменьшиться, даже если в долгосрочной перспективе Келли оптимален. Фракционный Келли снижает волатильность.
Большие размеры ставок
При высоком value Келли может рекомендовать ставить 20-30% банкролла, что очень рискованно. Важно ограничивать максимальный размер ставки (например, не более 5-10% банкролла), даже если Келли рекомендует больше.
Работает только в долгосрочной перспективе
Келли оптимален только при большом количестве ставок. В коротких сериях результаты могут сильно отличаться от ожидаемых. Не стоит ожидать стабильного роста от нескольких ставок.
Психологические факторы
Большие ставки, которые рекомендует Келли, могут быть психологически сложными. Если вы не готовы ставить большие суммы, лучше использовать фракционный Келли или фиксированный процент.